Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Lũy thừa với số mũ thực.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 12. Xét mệnh đề: “Với các số thực $x$, $a$, $b$, nếu $0 < a < b$ thì ${a^x} < {b^x}$”. Với điều kiện nào sau đây của $x$ thì mệnh đề đó đúng?
(A) $x$ bất kỳ.
(B) $x > 0.$
(C) $x < 0.$
Lời giải:
Điều kiện (B). Vì theo tính chất của lũy thừa với số mũ thực.
Bài 13. Xét mệnh đề: “Với các số thực $a$, $x$, $y$ nếu $x < y$ thì ${a^x} < {a^y}$”. Với điều kiện nào sau đây của $a$ thì mệnh đề đó đúng.
(A) $a$ bất kỳ.
(B) $a > 0.$
(C) $a > 1.$
Lời giải:
Điều kiện (C). Vì theo tính chất của lũy thừa với số mũ thực.
Bài 14. Cho các số thực $a$, $x$, $y$ với $x < y.$ Hãy tìm điều kiện của $a$ để ${a^x} > {a^y}.$
Lời giải:
Theo tính chất lũy thừa với số mũ thực thì điều kiện của $a$ là: $0 < a < 1.$
Bài 15. Tính các biểu thức:
${\left( {0,{5^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 8 }}.$
${2^{2 – 3\sqrt 5 }}{.8^{\sqrt 5 }}.$
${3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}}.$
Lời giải:
${\left( {0,{5^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 8 }} = {\left( {0,{5^{{2^{\frac{1}{2}}}}}} \right)^{\frac{1}{{{8^2}}}}}$ $ = 0,{5^{{2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}}} = 0,{5^{{2^2}}}$ $ = {(0,5)^4} = \frac{1}{{16}}.$
${2^{2 – 3\sqrt 5 }}{.8^{\sqrt 5 }} = {2^{2 – 3\sqrt 5 }}{.2^{3\sqrt 5 }}$ $ = {2^2} = 4.$
${3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}}$ $ = {3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{3^{2\sqrt[3]{2}}} = 3.$
Bài 16. Đơn giản biểu thức: $P = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 3 – 1}}} \right)}^{\sqrt 3 + 1}}}}{{{a^{\sqrt 5 – 3}}.{a^{4 – \sqrt 5 }}}}$, $Q = {a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 – 1}}.$
Lời giải:
Ta có $P = \frac{{{a^{(\sqrt 3 – 1)(\sqrt 3 + 1)}}}}{{{a^{(\sqrt 5 – 3) + (4 – \sqrt 5 )}}}}$ $ = \frac{{{a^{3 – 1}}}}{{{a^1}}} = a.$
$Q = {a^{\sqrt 2 }}.{a^{1 – \sqrt 2 }}$ $ = {a^{\sqrt 2 + 1 – \sqrt 2 }} = a.$
Bài 17. Một người gửi $15$ triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn $1$ năm với lãi suất $7,56\% $ một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau $5$ năm là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải:
Áp dụng công thức lãi kép $C = A{(1 + r)^N}.$
Trong đó $A = 15$, $r = 7,56\% $, $N = 5$ $ \Rightarrow C = 15{(1 + 7,56\% )^5}$ $ = 15.1,{0756^5} \approx 21,59$ triệu đồng.
LUYỆN TẬP
Bài 18. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỉ:
a) $\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}}$ $(x > 0).$
b) $\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}}$ $(a > 0,b > 0).$
c) $\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}.$
d) $\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}$ $(a > 0).$
Lời giải:
a) $\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}} = \sqrt[4]{{{x^2}{x^{\frac{1}{3}}}}}$ $ = \sqrt[4]{{{x^{\frac{7}{3}}}}} = {\left( {{x^{\frac{7}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {x^{\frac{7}{{12}}}}.$
b) $\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}} = \sqrt[5]{{\frac{b}{a}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}$ $ = \sqrt[5]{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^{ – 1}}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[5]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{ – \frac{2}{3}}}}}$ $ = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ – \frac{2}{{15}}}}.$
c) $\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} } }} = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}}}$ $ = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}$ $ = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}.$
d) $\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}$ $ = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a.{a^{\frac{1}{2}}}} } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}$ $ = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {{a^{\frac{3}{2}}}} } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}$ $ = \sqrt {a\sqrt {a.{a^{\frac{3}{4}}}} } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}.$
$ = \sqrt {a\sqrt {{a^{\frac{7}{4}}}} } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}$ $ = \sqrt {a.{a^{\frac{7}{8}}}} :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}$ $ = \sqrt {{a^{\frac{{15}}{8}}}} :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}$ $ = {a^{\frac{{15}}{{16}}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}}$ $ = {a^{\frac{4}{{16}}}} = {a^{\frac{1}{4}}}.$
Bài 19. Đơn giản biểu thức:
a) ${a^{ – 2\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{{{a^{ – \sqrt 2 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}}.$
b) ${\left( {\frac{{{a^{\sqrt 3 }}}}{{{b^{\sqrt 3 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 3 + 1}}.\frac{{{a^{ – 1 – \sqrt 3 }}}}{{{b^{ – 2}}}}.$
c) $\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} – {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1.$
d) $\sqrt {{{\left( {{x^\pi } + {y^\pi }} \right)}^2} – {{\left( {{4^{\frac{1}{\pi }}}xy} \right)}^\pi }} .$
Lời giải:
a) ${a^{ – 2\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{{{a^{ – \sqrt 2 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}}$ $ = {a^{ – 2\sqrt 2 }}.{\left( {{a^{\sqrt 2 + 1}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}}$ $ = {a^{ – 2\sqrt 2 }}.{a^{3 + 2\sqrt 2 }} = {a^3}.$
b) ${\left( {\frac{{{a^{\sqrt 3 }}}}{{{b^{\sqrt 3 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 3 + 1}}.\frac{{{a^{ – 1 – \sqrt 3 }}}}{{{b^{ – 2}}}}$ $ = \frac{{{a^{3 + \sqrt 3 }}.{a^{ – 1 – \sqrt 3 }}}}{{{b^{{{(\sqrt 3 )}^2} – 1}}.{b^{ – 2}}}}$ $ = \frac{{{a^2}}}{{{b^{3 – 3}}}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^0}}} = {a^2}.$
c) $\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} – {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1$ $ = \frac{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)\left( {{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1$ $ = \frac{{{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}} + 1.$
$ = \frac{{{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }} + {a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}}$ $ = \frac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}}.$
d) $\sqrt {{{\left( {{x^\pi } + {y^\pi }} \right)}^2} – {{\left( {{4^{\frac{1}{\pi }}}xy} \right)}^\pi }} $ $ = \sqrt {{x^{2\pi }} + 2{x^\pi }{y^\pi } + {y^{2\pi }} – 4{x^\pi }{y^\pi }} $ $ = \sqrt {{x^{2\pi }} – 2{x^\pi }{y^\pi } + {y^{2\pi }}} .$
$ = \sqrt {{{\left( {{x^\pi } – {y^\pi }} \right)}^2}} $ $ = \left| {{x^\pi } – {y^\pi }} \right|.$
Bài 20. Tìm các số thực $\alpha $ thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) $\frac{1}{2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ – \alpha }}} \right) = 1$ $(a > 0).$
b) ${3^{|\alpha |}} < 27.$
Lời giải:
a) $\frac{1}{2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ – \alpha }}} \right) = 1$ $ \Leftrightarrow {a^\alpha } + {a^{ – \alpha }} = 2$ $ \Leftrightarrow {a^{2\alpha }} – 2{a^\alpha } + 1 = 0.$
$ \Leftrightarrow {\left( {{a^\alpha } – 1} \right)^2} = 0$ $ \Leftrightarrow {a^\alpha } – 1 = 0$ $ \Rightarrow \alpha = 0.$
b) ${3^{|\alpha |}} < 27$ $ \Leftrightarrow {3^{|\alpha |}} < {3^3}$ $ \Leftrightarrow |\alpha | < 3$ $ \Leftrightarrow – 3 < \alpha < 3.$
Bài 21. Giải các bất phương trình sau bằng cách đặt $t = \sqrt[4]{x}.$
a) $\sqrt x + \sqrt[4]{x} = 2.$
b) $\sqrt x – 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0.$
Lời giải:
a) Đặt $t = \sqrt[4]{x}$ ta được: ${t^2} + t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\\
{t = – 2\:\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..$
Với $t = 1$ $ \Rightarrow t = \sqrt[4]{x}$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
b) Đặt $t = \sqrt[4]{x}$ ta được ${t^2} – 3t + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\\
{t = 2}
\end{array}} \right..$
Với $t = 1 \Leftrightarrow x = 1.$
Với $t = 2 \Leftrightarrow x = 8.$
Bài 22. Giải các phương trình sau:
a) ${x^4} < 3.$
b) ${x^{11}} \ge 7.$
c) ${x^{10}} > 2.$
d) ${x^3} \le 5.$
Lời giải:
a) ${x^4} < 3$ $ \Leftrightarrow – \sqrt[4]{3} < x < \sqrt[4]{3}.$
b) ${x^{11}} \ge 7$ $ \Leftrightarrow x \ge \sqrt[{11}]{7}.$
c) ${x^{10}} > 2$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > \sqrt[{10}]{2}}\\
{x < – \sqrt[{10}]{2}}
\end{array}} \right..$
d) ${x^3} \le 5$ $ \Leftrightarrow x \le \sqrt[3]{5}.$
