Giải bài tập SGK Giải tích 12 nâng cao: Một số phương pháp tính tích phân


Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Một số phương pháp tính tích phân.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 17. Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:
a) $\int_0^1 {\sqrt {x + 1} dx} .$
b) $\int_0^{\pi /4} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} .$
c) $\int_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dx.$
d) $\int_0^1 {\frac{{5x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}dx.} $
e) $\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} .$
f) $\int_0^{\pi /6} {(1 – \cos 3x)} \sin 3xdx.$

Lời giải:
a) Đặt $u = \sqrt {x + 1} $ $ \Rightarrow {u^2} = x + 1$ $ \Rightarrow 2udu = dx.$
$x = 0$ $ \Rightarrow u = 1$, $x = 1$ $ \Rightarrow u = \sqrt 2 .$
Suy ra: $\int_0^1 {\sqrt {x + 1} dx} $ $ = \int_1^{\sqrt 2 } u .2udu$ $ = \left. {2.\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_1^{\sqrt 2 }$ $ = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} – \frac{2}{3}.$
b) Tính $\int_0^{\pi /4} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} .$
Đặt $u = \tan x$ $ \Rightarrow du = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx.$
$x = 0$ $ \Rightarrow u = 0$, $x = \frac{\pi }{4}$ $ \Rightarrow u = 1.$
Vậy $\int_0^{\pi /4} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} $ $ = \int_0^1 u .du$ $ = \left. {\frac{{{u^2}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{1}{2}.$
c) Đặt $u = 1 + {t^4}$ $ \Rightarrow du = 4{t^3}dt$ $ \Rightarrow {t^3}dt = \frac{{du}}{4}.$
$t = 0$ $ \Rightarrow u = 1$, $t = 1$ $ \Rightarrow u = 2.$
Suy ra: $\int_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dt$ $ = \int_1^2 {{u^3}} \frac{{du}}{4}$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{4}.\frac{{{u^4}}}{4}} \right)} \right|_1^2$ $ = \frac{1}{{16}}(16 – 1) = \frac{{15}}{{16}}.$
Vậy $\int_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dt = \frac{{15}}{{16}}.$
d) Tính $\int_0^1 {\frac{{5x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}dx} .$
Đặt $u = {x^2} + 4$ $ \Rightarrow xdx = \frac{{du}}{2}$, $x = 0$ $ \Rightarrow u = 4$, $x = 1$ $ \Rightarrow u = 5.$
Suy ra: $\int_0^1 {\frac{{5x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}dx} $ $ = \frac{5}{2}\int_4^5 {\frac{{du}}{{{u^2}}}} $ $ = \frac{5}{2}\int_4^5 {{u^{ – 2}}} du$ $ = \left. {\frac{5}{2}.\frac{{{u^{ – 1}}}}{{ – 1}}} \right|_4^5.$
$ = \left. {\frac{{ – 5}}{2}.\frac{1}{u}} \right|_4^5$ $ = \frac{5}{2}\left( {\frac{1}{4} – \frac{1}{5}} \right) = \frac{1}{8}.$
e) Tính $\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} .$
Đặt $u = \sqrt {{x^2} + 1} $ $ \Leftrightarrow {u^2} = {x^2} + 1$ $ \Leftrightarrow udu = xdx.$
$x = 0$ $ \Rightarrow u = 1$, $x = \sqrt 3 $ $ \Rightarrow u = 2.$
Vậy $\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} $ $ = 4\int_1^2 {\frac{{udu}}{u}} = 4\int_1^2 d u$ $ = \left. {4u} \right|_1^2 = 4.$
f) Tính $\int_0^{\pi /6} {(1 – \cos 3x)} \sin 3xdx.$
Đặt $u = 1 – \cos 3x$ $ \Rightarrow \frac{1}{3}du = \sin 3xdx.$
$x = 0$ $ \Rightarrow u = 0$, $x = \frac{\pi }{6}$ $ \Rightarrow u = 1.$
Vậy $\int_0^{\pi /6} {(1 – \cos 3x)} \sin 3xdx$ $ = \frac{1}{3}\int_0^1 {udu} $ $ = \left. {\frac{1}{3}\frac{{{u^2}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{1}{6}.$

Bài 18. Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:
a) $\int_1^2 {{x^5}} \ln xdx.$
b) $\int_0^1 {(x + 1){e^x}dx} .$
c) $\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx.$
d) $\int_0^{\pi /2} {x\cos xdx} .$

Lời giải:
a) Tính $\int_1^2 {{x^5}} \ln xdx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln x}\\
{dv = {x^5}dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{1}{x}dx}\\
{v = \frac{{{x^6}}}{6}}
\end{array}} \right..$
Suy ra $\int_1^2 {{x^5}} \ln xdx$ $ = \left. {\frac{{{x^6}.\ln x}}{6}} \right|_1^2 – \int_1^2 {\frac{{{x^6}}}{6}} .\frac{1}{x}dx$ $ = \frac{{32}}{3}\ln 2 – \int_1^2 {\frac{{{x^5}}}{6}dx} .$
$ = \frac{{32}}{3}\ln 2 – \left. {\left( {\frac{{{x^6}}}{{36}}} \right)} \right|_1^2$ $ = \frac{{32}}{3}\ln 2 – \frac{7}{4}.$
b) Tính $\int_0^1 {(x + 1){e^x}dx} .$
Đặt $u = x + 1$, $dv = {e^x}dx$ $ \Rightarrow du = dx$, $v = {e^x}.$
Suy ra $\int_0^1 {(x + 1){e^x}dx} $ $ = \left. {{e^x}(x + 1)} \right|_0^1$ $ – \int_0^1 {{e^x}} dx$ $ = 2e – 1 – \left. {{e^x}} \right|_0^1$ $ = 2e – 1 – (e – 1) = e.$
c) Tính $\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx.$
Đặt $u = \cos x$, $dv = {e^x}dx$ $ \Rightarrow du = – \sin xdx$, $v = {e^x}.$
Suy ra $\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx$ $ = \left. {{e^x}\cos x} \right|_0^\pi + \int_0^\pi {{e^x}} \sin xdx$ $ = – {e^\pi } – 1 + {I_1}.$
Tính ${I_1} = \int_0^\pi {{e^x}} \sin xdx.$
Đặt ${u_1} = \sin x$, $d{v_1} = {e^x}dx$ $ \Rightarrow d{u_1} = \cos xdx$, ${v_1} = {e^x}.$
Suy ra ${I_1} = \left. {{e^x}.\sin x} \right|_0^\pi – \int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx$ $ = – I.$
Vậy $I = – \left( {{e^\pi } + 1} \right) – I$ $ \Leftrightarrow 2I = – \left( {{e^\pi } + 1} \right).$
Vậy $\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx = – \frac{{{e^\pi } + 1}}{2}.$
d) Đặt $u = x$, $dv = \cos xdx$ $ \Rightarrow du = dx$, $v = \sin x.$
Suy ra: $\int_0^{\pi /2} x \cos xdx$ $ = \left. {x.\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} – \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} $ $ = \frac{\pi }{2} + \left. {(\cos x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $ = \frac{\pi }{2} – 1.$
Vậy $\int_0^{\pi /2} x \cos xdx = \frac{\pi }{2} – 1.$

LUYỆN TẬP

Bài 19. Tính:
a) $\int_0^1 {\sqrt {{t^5} + 2t} } \left( {2 + 5{t^4}} \right)dt.$
b) $\int_0^{\pi /2} x \sin x\cos xdx.$

Lời giải:
a) Đặt $\sqrt {{t^5} + 2t} = u$ $ \Rightarrow {u^2} = {t^5} + 2t$ $ \Rightarrow 2udu = \left( {5{t^4} + 2} \right)dt.$
Với $t = 0$ $ \Rightarrow u = 0$, $t = 1$ $ \Rightarrow u = \sqrt 3 .$
Suy ra $\int_0^1 {\sqrt {{t^5} + 2t} } \left( {2 + 5{t^4}} \right)dt$ $ = \int_0^{\sqrt 3 } 2 {u^2}du$ $ = \left. {\frac{2}{3}{u^3}} \right|_0^{\sqrt 3 } = 2\sqrt 3 .$
b) Ta có: $\int_0^{\pi /2} x \sin x\cos xdx$ $ = \frac{1}{2}\int_0^{\pi /2} x \sin 2xdx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\\
{dv = \sin 2xdx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\\
{v = – \frac{1}{2}\cos 2x}
\end{array}} \right..$
Suy ra $\frac{1}{2}\int_0^{\pi /2} x \sin 2xdx$ $ = – \left. {\frac{1}{4}x\cos 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $ + \frac{1}{4}\int_0^{\pi /2} {\cos 2xdx} .$
$ = – \frac{1}{4}\left( { – \frac{\pi }{2} – 0} \right)$ $ + \left. {\frac{1}{4}.\frac{1}{2}\sin 2x} \right|_0^{\pi /2}$ $ = \frac{\pi }{8}.$
Vậy $\int_0^{\pi /2} x \sin x\cos xdx = \frac{\pi }{8}.$

Bài 20. Tính:
a) $\int_0^\pi 5 {(5 – 4\cos t)^{\frac{1}{4}}}\sin tdt.$
b) $\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} .$

Lời giải:
a) Đặt $5 – 4\cos t = u$ $ \Rightarrow du = 4\sin tdt$ $ \Rightarrow \sin tdt = \frac{{du}}{4}.$
$t = 0$ $ \Rightarrow u = 1$, $t = \pi $ $ \Rightarrow u = 9.$
Suy ra $\int_0^\pi 5 {(5 – 4\cos t)^{\frac{1}{4}}}\sin tdt$ $ = \frac{5}{4}\int_1^9 {{u^{1/4}}} du$ $ = \left. {\frac{5}{4}.\frac{{{u^{\frac{1}{4} + 1}}}}{{\frac{1}{4} + 1}}} \right|_1^9$ $ = \left. {{u^{\frac{5}{4}}}} \right|_1^9 = {9^{\frac{5}{4}}} – 1.$
b) Đặt $u = \sqrt {{x^2} + 1} $ $ \Rightarrow {u^2} = {x^2} + 1$ $ \Rightarrow {x^2} = {u^2} – 1.$
$ \Rightarrow udu = xdx.$
Đổi cận: ${x = 0 \Rightarrow u = 1}$, ${x = \sqrt 3 \Rightarrow u = 2.}$
Suy ra $\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} $ $ = \int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}xdx} .$
$ = \int_1^2 {\frac{{{u^2} – 1}}{u}udu} $ $ = \int_1^2 {\left( {{u^2} – 1} \right)du} $ $ = \left. {\left( {\frac{{{u^3}}}{3} – u} \right)} \right|_1^2.$
${ = \frac{8}{3} – 2 – \left( {\frac{1}{3} – 1} \right)}$ ${ = \frac{4}{3}.}$

Bài 21. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm $\frac{{\sin x}}{x}$ trên $(0; + \infty ).$ Khi đó $\int_1^3 {\frac{{\sin 2x}}{x}dx} $ là:
(A) $F(3) – F(1).$
(B) $F(6) – F(2).$
(C) $F(4) – F(2).$
(D) $F(6) – F(4).$

Lời giải:
Đáp án (B) vì $\frac{{\sin x}}{x}$ có nguyên hàm là $F(x).$
Suy ra: $\frac{{2\sin 2x}}{{2x}}$ có nguyên hàm là $F(2x).$
Suy ra: $\int_1^3 {\frac{{\sin 2x}}{x}dx} = \left. {F(2x)} \right|_1^3$ $ = F(6) – F(2).$

Bài 22. Chứng minh rằng:
a) $\int_0^1 f (x)dx = \int_0^1 f (1 – x)dx.$
b) $\int_{ – 1}^1 f (x)dx$ $ = \int_0^1 {[f(x) + f( – x)]dx} .$

Lời giải:
a) Xét $VT = \int_0^1 f (x)dx.$
Đặt $x = 1 – t$ $ \Rightarrow dx = – dt$, $x = 0 \Rightarrow t = 1$, $x = 1 \Rightarrow t = 0.$
Suy ra $VT = \int_1^0 f (1 – t)( – dt)$ $ = \int_0^1 f (1 – t)dt.$
Mà $\int_a^b f (x)dx = \int_a^b f (t)dt.$
Suy ra: $VT = \int_0^1 f (1 – x)dx = VP.$
b) $VT = \int_{ – 1}^1 f (x)dx$ $ = \int_{ – 1}^0 f (x)dx + \int_0^1 f (x)dx$ $(*).$
Xét $I = \int_{ – 1}^0 f (x)dx.$
Đặt $t = – x$ $ \Rightarrow dx = – dt$, $x = – 1 \Rightarrow t = 1$, $x = 0 \Rightarrow t = 0.$
Suy ra $I = \int_1^0 f ( – t)( – dt)$ $ = \int_0^1 f ( – t)dt$ $ = \int_0^1 f ( – x)dx.$
Thay vào $(*)$ ta được:
$VT = \int_0^1 f (x)dx + \int_0^1 f ( – x)dx$ $ = \int_0^1 {(f(} x) + f( – x))dx = VP.$

Bài 23. Cho $\int_0^1 f (x)dx = 3.$ Tính $\int_{ – 1}^0 f (x)dx$ trong các trường hợp sau:
a) $f(x)$ là hàm số lẻ.
b) $f(x)$ là hàm số chẵn.

Lời giải:
a) Nếu $f(x)$ là hàm số lẻ thì: $\int_{ – 1}^1 f (x)dx = 0.$
$ \Leftrightarrow \int_{ – 1}^0 f (x)dx + \int_0^1 f (x)dx = 0$ $ \Leftrightarrow \int_{ – 1}^0 f (x)dx + 3 = 0$ $ \Rightarrow \int_{ – 1}^0 f (x)dx = – 3.$
b) Nếu $f(x)$ là hàm số chẵn thì: $\int_{ – 1}^0 f (x)dx = \int_0^1 f (x)dx = 3.$

Bài 24. Tính các tích phân sau:
a) $\int_1^2 {{x^2}} {e^{{x^3}}}dx.$
b) $\int_1^3 {\frac{1}{x}} {(\ln x)^2}dx.$
c) $\int_0^{\sqrt 3 } x \sqrt {1 + {x^2}} dx.$
d) $\int_0^1 {{x^2}} {e^{3{x^3}}}dx.$
e) $\int_0^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}dx.} $

Lời giải:
a) Tính $I = \int_1^2 {{x^2}} {e^{{x^3}}}dx.$
Đặt $u = {x^3}$ $ \Rightarrow du = 3{x^2}dx$ $ \Leftrightarrow {x^2}dx = \frac{{du}}{3}.$
Với $x = 1 \Rightarrow u = 1$, $x = 2 \Rightarrow u = 8.$
Suy ra: $I = \frac{1}{3}\int_1^8 {{e^u}} du$ $ = \left. {\frac{1}{3}{e^u}} \right|_1^8 = \frac{{{e^8} – e}}{3}.$
b) Tính $J = \int_1^3 {\frac{1}{x}} {(\ln x)^2}dx.$
Đặt $u = \ln x$ $ \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx$, $x = 1 \Rightarrow u = 0$, $x = 3 \Rightarrow u = \ln 3.$
Suy ra $J = \int_0^{\ln 3} {{u^2}} du$ $ = \left. {\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_0^{\ln 3} = \frac{{{{(\ln 3)}^3}}}{3}.$
c) Đặt $u = \sqrt {1 + {x^2}} $ $ \Rightarrow {u^2} = 1 + {x^2}$ $ \Leftrightarrow udu = xdx.$
$x = 0 \Rightarrow u = 1$, $x = \sqrt 3 \Rightarrow u = 2.$
Suy ra $\int_0^2 {{u^2}} du = \left. {\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_1^2 = \frac{7}{3}.$
Vậy $\int_0^{\sqrt 3 } x \sqrt {1 + {x^2}} dx = \frac{7}{3}.$
d) Tính $K = \int_0^1 {{x^2}} {e^{3{x^3}}}dx.$
Đặt $u = 3{x^3}$ $ \Rightarrow du = 9{x^2}dx$ $ \Rightarrow {x^2}dx = \frac{{du}}{9}$, $x = 0 \Rightarrow u = 0$, $x = 1 \Rightarrow u = 3.$
Suy ra: $K = \int_0^3 {{e^u}} \frac{{du}}{9}$ $ = \left. {\frac{1}{9}{e^u}} \right|_0^3 = \frac{1}{9}\left( {{e^3} – 1} \right).$
e) Tính $L = \int_0^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}dx} .$
Đặt $u = 1 + \sin x$ $ \Rightarrow \cos xdx = du$, $x = 0 \Rightarrow u = 1$, $x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u = 2.$
Suy ra $L = \int_1^2 {\frac{{du}}{u}} $ $ = \left. {\ln |u|} \right|_1^2 = \ln |2| = \ln 2.$

Bài 25. Tính các tích phân sau:
a) $\int_0^{\pi /4} x \cos 2xdx.$
b) $\int_0^1 {\frac{{\ln (2 – x)}}{{2 – x}}} dx.$
c) $\int_0^{\pi /2} {{x^2}} \cos xdx.$
d) $\int_0^1 {{x^2}} \sqrt {{x^3} + 1} dx.$
e) $\int_0^e {{x^2}} \ln xdx.$

Lời giải:
a) Tính $I = \int_0^{\pi /4} x \cos 2xdx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\\
{dv = \cos 2xdx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\\
{v = \frac{1}{2}\sin 2x}
\end{array}} \right..$
Suy ra $I = \int_0^{\pi /4} x \cos 2xdx$ $ = \left. {\frac{1}{2}x.\sin 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}$ $ – \frac{1}{2}\int_0^{\pi /4} {\sin } 2xdx.$
$ = \frac{\pi }{8} + \left. {\frac{1}{4}(\cos 2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}$ $ = \frac{\pi }{8} – \frac{1}{4}.$
b) Xét $J = \int_0^1 {\frac{{\ln (2 – x)}}{{2 – x}}dx} .$
Đặt $u = \ln (2 – x)$ $ \Rightarrow du = – \frac{1}{{2 – x}}dx.$
$x = 0 \Rightarrow u = \ln 2$, $x = 1 \Rightarrow u = 0.$
Suy ra $J = – \int_{\ln 2}^0 {udu} $ $ = \int_0^{\ln 2} {udu} = \left. {\frac{{{u^2}}}{2}} \right|_0^{\ln 2}$ $ = \frac{{{{\ln }^2}2}}{2}.$
Vậy $\int_0^1 {\frac{{\ln (2 – x)}}{{2 – x}}dx} = \frac{{{{\ln }^2}2}}{2}.$
c) Đặt $K = \int_0^{\pi /2} {{x^2}} \cos xdx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = {x^2}}\\
{dv = \cos xdx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 2xdx}\\
{v = \sin x}
\end{array}} \right..$
Suy ra $K = \left. {{x^2}.\sin x} \right|_0^{\pi /2}$ $ – 2\int_0^{\pi /2} x \sin xdx$ $ = \frac{{{\pi ^2}}}{4} – 2{K_1}.$
Tính ${K_1} = \int_0^{\pi /2} x \sin xdx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = x}\\
{d{v_1} = \sin xdx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{d{u_1} = dx}\\
{{v_1} = – \cos x}
\end{array}} \right..$
Suy ra ${K_1} = – \left. {x\cos x} \right|_0^{\pi /2} + \int_0^{\pi /2} {\cos xdx} $ $ = \left. {\sin x} \right|_0^{\pi /2} = 1.$
Vậy $K = \frac{{{\pi ^2}}}{4} – 2.$
d) Đặt $u = \sqrt {{x^3} + 1} $ $ \Rightarrow {u^2} = {x^3} + 1$ $ \Leftrightarrow 2udu = 3{x^2}dx.$
$x = 0$ $ \Rightarrow u = 1$, $x = 1$ $ \Rightarrow u = \sqrt 2 .$
Suy ra $\int_0^1 {{x^2}} \sqrt {{x^3} + 1} dx$ $ = \frac{2}{3}\int_1^{\sqrt 2 } {{u^2}} du$ $ = \left. {\frac{2}{3}.\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_1^{\sqrt 2 }$ $ = \frac{2}{9}(2\sqrt 2 – 1).$
e) Xét $L = \int_0^e {{x^2}} \ln xdx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln x}\\
{dv = {x^2}dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{1}{x}dx}\\
{v = \frac{{{x^3}}}{3}}
\end{array}} \right..$
Suy ra $L = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}\ln x} \right|_0^e – \int_0^e {{x^2}} \frac{{dx}}{3}$ $ = \frac{{{e^3}}}{3} – \left. {\frac{1}{9}{x^3}} \right|_0^e = \frac{2}{9}{e^3}.$
Vậy $\int_0^e {{x^2}} \ln xdx = \frac{2}{9}{e^3}.$


Hướng dẫn DOWNLOAD: XEM HƯỚNG DẪN
Ghi chú: Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho TOANMATH.com, vui lòng gửi về:
+ Fanpage: TOÁN MATH
+ Email: toanmath.com@gmail.com
[gs-fb-comments]