Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Phương trình mũ và lôgarit.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 63. Giải các phương trình sau:
a) ${(2 + \sqrt 3 )^{2x}} = 2 – \sqrt 3 .$
b) ${2^{{x^2} – 3x + 2}} = 4.$
c) ${2.3^{x + 1}} – {6.3^{x – 1}} – {3^x} = 9.$
d) ${\log _3}\left( {{3^x} + 8} \right) = 2 + x.$
Lời giải:
a) ${(2 + \sqrt 3 )^{2x}} = 2 – \sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow {(2 + \sqrt 3 )^{2x}} = {(2 + \sqrt 3 )^{ – 1}}$ $ \Leftrightarrow 2x = – 1$ $ \Leftrightarrow x = – \frac{1}{2}.$
Cách khác: ${(2 + \sqrt 3 )^{2x}} = 2 – \sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow {(2 – \sqrt 3 )^{ – 2x}} = 2 – \sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow x = – \frac{1}{2}.$
b) ${2^{{x^2} – 3x + 2}} = 4$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 2$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = 3}
\end{array}} \right..$
c) ${2.3^{x + 1}} – {6.3^{x – 1}} – {3^x} = 9$ $ \Leftrightarrow {6.3^x} – {2.3^x} – {3^x} = 9$ $ \Leftrightarrow {3.3^x} = 9$ $ \Leftrightarrow {3^x} = 3$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
d) ${\log _3}\left( {{3^x} + 8} \right) = 2 + x$ $ \Leftrightarrow {3^x} + 8 = {3^{2 + x}}$ $ \Leftrightarrow {3^x} + 8 = {9.3^x}$ $ \Leftrightarrow {8.3^x} = 8$ $ \Leftrightarrow {3^x} = 1$ $ \Leftrightarrow x = 0.$
Bài 64. Giải các phương trình sau:
a) ${\log _2}[x(x – 1)] = 1.$
b) ${\log _2}x + {\log _2}(x – 1) = 1.$
Lời giải:
a) ${\log _2}[x(x – 1)] = 1$ $ \Leftrightarrow x(x – 1) = 2$ $ \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1}\\
{x = 2}
\end{array}} \right..$
b) ${\log _2}x + {\log _2}(x – 1) = 1.$
Điều kiện: $x > 1.$
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với phương trình:
${x^2} – x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1\,\,{\rm{(loại)}}}\\
{x = 2}
\end{array}} \right..$
Vậy phương trình có một nghiệm $x = 2.$
Bài 65. Trên mặt mỗi chiếc radio đều có các vạch chia để người sử dụng dễ dàng chọn đúng sóng radio cần tìm. Biết vạch chia ở vị trí cách vạch tận cùng bên trái một khoảng $d$ $(cm)$ thì ứng với tần số $F = k.{a^d}$ $(kHz)$, trong đó $k$ và $a$ là hai hằng số được chọn sao cho vạch tận cùng bên trái ứng với tần số $53kHz$, vạch tận cùng bên phải ứng với tần số $160kHz$ và hai vạch này cách nhau $12cm.$
a) Hãy tính $k$ và $a$ (tính $a$ chính xác đến hàng phần nghìn).
b) Giả sử đã cho $F$, hãy giải phương trình $k.{a^d} = F$ với ẩn $d.$
c) Áp dụng kết quả của b, hãy điền vào ô trống trong bảng sau (kết quả chính xác đến hàng phần trăm).
| $F$ | $53$ | $60$ | $80$ | $100$ | $120$ | $140$ | $160$ |
| $d$ |
Lời giải:
a) Theo giả thiết ta có: $d = 0$ $ \Rightarrow F = 53$ $ \Leftrightarrow k.{a^0} = 53$ $ \Leftrightarrow k = 53.$
Và $d = 12$ $ \Rightarrow F = 160$ $ \Leftrightarrow k.{a^{12}} = 160$ $ \Leftrightarrow 53.{a^{12}} = 160$ $ \Leftrightarrow a = \sqrt[{12}]{{\frac{{160}}{{53}}}} \approx 1,096.$
b) $k.{a^d} = F$ $ \Leftrightarrow {a^d} = \frac{F}{k}$ $ \Leftrightarrow d = {\log _a}\frac{F}{k} = {\log _{\sqrt[{12}]{{\frac{{160}}{{53}}}}}}\left( {\frac{F}{{53}}} \right).$
c) Từ câu b $ \Rightarrow d = 25,119.\lg F – 43,312.$
(Do yêu cầu kết quả tính chính xác đến hàng phần trăm).
Vậy ta có bảng:
| $F$ | $53$ | $60$ | $80$ | $100$ | $120$ | $140$ | $160$ |
| $d$ | $0$ | $1,35$ | $4,49$ | $6,93$ | $8,91$ | $10,60$ | $12$ |
Bài 66. Giải các phương trình sau:
a) ${2^{x + 1}}{.5^x} = 200.$
b) $0,{125.4^{2x – 3}} = {(4\sqrt 2 )^x}.$
Lời giải:
a) ${2^{x + 1}}{.5^x} = 200$ $ \Leftrightarrow {2.10^x} = 200$ $ \Leftrightarrow {10^x} = 100$ $ \Leftrightarrow x = 2.$
Cách khác: ${2^{x + 1}}{.5^x} = 200$ $ \Leftrightarrow {2^{x + 1}}{.5^x} = {2^3}{.5^2}$ $ \Leftrightarrow {2^{x – 2}}{.5^{x – 2}} = 1$ $ \Leftrightarrow {10^{x – 2}} = 1.$
$ \Leftrightarrow x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow x = 2.$
b) $0,{125.4^{2x – 3}} = {(4\sqrt 2 )^x}$ $ \Leftrightarrow {(0,5)^3}{.4^{2x – 3}} = {(4\sqrt 2 )^x}.$
$ \Leftrightarrow {2^{ – 3}}{.4^{2x – 3}} = {\left( {{{4.2}^{\frac{1}{2}}}} \right)^x}$ $ \Leftrightarrow {2^{ – 3}}{.2^{4x – 6}} = {\left( {{2^{\frac{5}{2}}}} \right)^x}.$
$ \Leftrightarrow {2^{4x – 9}} = {2^{\frac{{5x}}{2}}}$ $ \Leftrightarrow 4x – 9 = \frac{{5x}}{2}$ $ \Leftrightarrow x = 6.$
Bài 67. Giải các phương trình sau:
a) ${\log _2}x + {\log _4}x = {\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 .$
b) ${\log _{\sqrt 3 }}x.{\log _3}x.{\log _9}x = 8.$
Lời giải:
a) ${\log _2}x + {\log _4}x = {\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 .$
$ \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{1}{2}{\log _2}x = – {\log _2}\sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow {\log _2}x = – \frac{2}{3}{\log _2}\sqrt 3 .$
$ \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _2}{3^{ – \frac{1}{3}}}$ $ \Leftrightarrow x = {3^{ – \frac{1}{3}}}.$
b) ${\log _{\sqrt 3 }}x.{\log _3}x.{\log _9}x = 8$ $ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x.\left( {\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt 3 }}x} \right)\left( {\frac{1}{4}{{\log }_{\sqrt 3 }}x} \right) = 8.$
$ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_{\sqrt 3 }}x} \right)^3} = 64$ $ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x = 4$ $ \Leftrightarrow x = {(\sqrt 3 )^4} = 9.$
Cách khác:
${\log _{\sqrt 3 }}x.{\log _3}x.{\log _9}x = 8$ $ \Leftrightarrow 2{\log _3}x.{\log _3}x.\frac{1}{2}{\log _3}x = 8$ $ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_3}x} \right)^3} = 8.$
$ \Leftrightarrow {\log _3}x = 2$ $ \Leftrightarrow x = {3^2} = 9.$
Bài 68. Giải các phương trình sau:
a) ${3^{x + 1}} + {18.3^{ – x}} = 29.$
b) ${27^x} + {12^x} = {2.8^x}.$
Lời giải:
a) ${3^{x + 1}} + {18.3^{ – x}} = 29$ $ \Leftrightarrow {3.3^x} + 18.\frac{1}{{{3^x}}} = 29$ $ \Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} – {29.3^x} + 18 = 0.$
Đặt $t = {3^x}$ $(t > 0).$
Phương trình trở thành $3{t^2} – 29t + 18 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 9}\\
{t = \frac{2}{3}}
\end{array}} \right..$
+ Với $t = 9$ $ \Rightarrow {3^x} = 9$ $ \Leftrightarrow x = 2.$
+ Với $t = \frac{2}{3}$ $ \Rightarrow {3^x} = \frac{2}{3}$ $ \Leftrightarrow x = {\log _3}\frac{2}{3}.$
b) ${27^x} + {12^x} = {2.8^x}$ $ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{3x}} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} – 2 = 0.$
Đặt $t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x}.$ Điều kiện $t > 0.$ Phương trình trở thành ${t^3} + t – 2 = 0.$
$ \Leftrightarrow (t – 1)\left( {{t^2} + t + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow t = 1.$
Với $t = 1$ $ \Rightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = 1$ $ \Leftrightarrow x = 0.$
Bài 69. Giải các phương trình sau:
a) ${\lg ^2}{x^3} – 20\lg \sqrt x + 1 = 0.$
b) $\frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_4}2x}} = \frac{{{{\log }_8}4x}}{{{{\log }_{16}}8x}}.$
c) ${\log _{9x}}27 – {\log _{3x}}3 + {\log _9}243 = 0.$
Lời giải:
a) ${\lg ^2}{x^3} – 20\lg \sqrt x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow 9{\lg ^2}x – 10\lg x + 1 = 0.$
Đặt $t = \lg x.$
Phương trình trở thành: $9{t^2} – 10t + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\\
{t = \frac{1}{9}}
\end{array}} \right..$
+ Với $t = 1$ $ \Rightarrow \lg x = 1$ $ \Leftrightarrow x = 10.$
+ Với $t = \frac{1}{9}$ $ \Rightarrow \lg x = \frac{1}{9}$ $ \Leftrightarrow x = \sqrt[9]{{10}}.$
Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 10$ và $x = \sqrt[9]{{10}}.$
b) $\frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_4}2x}} = \frac{{{{\log }_8}4x}}{{{{\log }_{16}}8x}}.$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0}\\
{x \ne \frac{1}{2}}\\
{x \ne \frac{1}{8}}
\end{array}} \right..$
Phương trình đã cho tương đương với:
$\frac{{{{\log }_2}x}}{{\frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_2}x} \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)}}{{\frac{1}{4}\left( {3 + {{\log }_2}x} \right)}}$ $ \Leftrightarrow \log _2^2x + 3{\log _2}x – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_2}x = 1}\\
{{{\log }_2}x = – 4}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{x = \frac{1}{{16}}}
\end{array}} \right..$
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: $S = \left\{ {2;\frac{1}{{16}}} \right\}.$
c) ${\log _{9x}}27 – {\log _{3x}}3 + {\log _9}243 = 0.$
Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0}\\
{x \ne \frac{1}{9}}\\
{x \ne \frac{1}{3}}
\end{array}} \right..$
Phương trình đã cho tương đương với:
$\frac{3}{{2 + {{\log }_3}x}} – \frac{1}{{1 + {{\log }_3}x}} + \frac{5}{2} = 0$ $ \Leftrightarrow 5\log _3^2x + 19{\log _3}x + 12 = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_3}x = – 3}\\
{{{\log }_3}x = – \frac{4}{5}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {3^{ – 3}}}\\
{x = {3^{ – \frac{4}{5}}}}
\end{array}} \right..$
Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \left\{ {{3^{ – 3}};{3^{ – \frac{4}{5}}}} \right\}.$
Bài 70. Giải các phương trình sau:
a) ${3^{{4^x}}} = {4^{{3^x}}}.$
b) ${3^{2 – {{\log }_3}x}} = 81x.$
c) ${3^x}{.8^{\frac{x}{{x + 1}}}} = 36.$
d) ${x^6}{.5^{ – {{\log }_x}5}} = {5^{ – 5}}.$
Lời giải:
a) ${3^{{4^x}}} = {4^{{3^x}}}$ $ \Leftrightarrow {4^x} = {3^x}{\log _3}4$ $ \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} = {\log _3}4$ $ \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{4}{3}}}\left( {{{\log }_3}4} \right).$
b) ${3^{2 – {{\log }_3}x}} = 81x.$
Điều kiện: $x > 0.$
Lấy logarit hai vế ta được:
$2 – {\log _3}x = 4 + {\log _3}x$ $ \Leftrightarrow {\log _3}x = – 1$ $ \Leftrightarrow x = {3^{ – 1}}.$
c) ${3^x}{.8^{\frac{x}{{x + 1}}}} = 36.$
Điều kiện: $x \ne – 1.$
Logarit hóa hai vế ta được:
$x + \frac{x}{{x + 1}}{\log _3}8 = {\log _3}36$ $ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{{\log }_3}2 – 1} \right)x – \left( {2 + 2{{\log }_3}2} \right) = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{x = – \left( {1 + {{\log }_3}2} \right)}
\end{array}} \right..$
d) ${x^6}{.5^{ – {{\log }_x}5}} = {5^{ – 5}}.$
Điều kiện: $0 < x \ne 1.$
Logarit hóa hai vế theo cơ số $x$ ta được:
$6 + \left( { – {{\log }_x}5} \right){\log _x}5 = – 5{\log _x}5$ $ \Leftrightarrow \log _x^25 – 5{\log _x}5 – 6 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_x}5 = – 1}\\
{{{\log }_x}5 = 6}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^{ – 1}} = 5}\\
{{x^6} = 5}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {5^{ – 1}}}\\
{x = \sqrt[6]{5}}
\end{array}} \right..$
Bài 71. Giải các phương trình sau:
a) ${2^x} = 3 – x.$
b) ${\log _2}x = 3 – x.$
Lời giải:
a) Ta thấy $x = 1$ là nghiệm. Ta chứng minh $x = 1$ là nghiệm duy nhất. Thật vậy:
+ $x < 1:$
${2^x} < {2^1} = 2.$
$3 – x > 3 – 1 = 2.$
$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{VT < 2}\\
{VP > 2}
\end{array}} \right..$
Phương trình vô nghiệm với $x < 1.$
+ $x > 1:$
${2^x} > {2^1} = 2.$
$3 – x < 3 – 1 = 2.$
$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{VT > 2}\\
{VP < 2}
\end{array}} \right..$
Phương trình vô nghiệm với $x > 2.$ Vậy phương trình có nghiệm $x = 1.$
b) ${\log _2}x = 3 – x.$
Điều kiện: $x > 0.$
Dễ thấy $x = 2$ là nghiệm của phương trình. Ta chứng minh $x = 2$ là nghiệm duy nhất. Thật vậy:
+ $x > 2:$
${\log _2}x > {\log _2}2 = 1.$
$3 – x < 3 – 2 = 1.$
$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{VT > 1}\\
{VP < 1}
\end{array}.} \right.$
Phương trình vô nghiệm với $x > 2.$
+ $0 < x < 2:$
${\log _2}x < {\log _2}2 = 1.$
$3 – x > 3 – 2 = 1.$
$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{VT < 1}\\
{VP > 1}
\end{array}} \right..$
Phương trình vô nghiệm với $0 < x < 2.$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2.$
