Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Số e và lôgarit tự nhiên.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 42. Tìm sai lầm trong lập luận sau:
Ta có $\ln {e^2} = 2\ln e$ $ = 2.1 = 2$ và $\ln (2e) = \ln e + \ln e$ $ = 1 + 1 = 2.$
Từ đó suy ra ${e^2} = 2e$, mà $e \ne 0$ nên $e = 2.$
Lời giải:
Lập luận trên sai lầm chỗ $\ln (2e) = \ln e + \ln e.$
Lập luận đúng là: $\ln (2e) = \ln 2 + \ln e.$
Bài 43. Biểu diễn các số sau đây theo $a = \ln 2$, $b = \ln 5.$
$\ln 500$; $\ln \frac{{16}}{{25}}$; $\ln 6,25$; $\ln \frac{1}{2} + \ln \frac{2}{3} + \ldots + \ln \frac{{98}}{{99}} + \ln \frac{{99}}{{100}}.$
Lời giải:
$\ln 500 = \ln 125.4$ $ = \ln {5^3} + \ln {2^2}$ $ = 3\ln 5 + 2\ln 2$ $ = 3b + 2a.$
$\ln \frac{{16}}{{25}} = \ln 16 – \ln 25$ $ = \ln {2^4} – \ln {5^2}$ $ = 4\ln 2 – 2\ln 5$ $ = 4a – 2b.$
$\ln 6,25 = \ln \frac{{625}}{{100}}$ $ = \ln 625 – \ln 100$ $ = \ln {5^4} – \ln 25.4$ $ = 4\ln 5 – 2\ln 5 – 2\ln 2.$
$ = 2\ln 5 – 2\ln 2$ $ = 2b – 2a.$
$\ln \frac{1}{2}.\frac{2}{3} \ldots \frac{{98}}{{99}}.\frac{{99}}{{100}}$ $ = \ln \frac{1}{{100}} = – \ln 100$ $ = – \ln 25.4$ $ = – \left( {\ln {5^2} + \ln {2^2}} \right)$ $ = – 2b – 2a.$
Bài 44. Chứng minh $\frac{7}{{16}}\ln (3 + 2\sqrt 2 )$ $ – 4\ln (\sqrt 2 + 1)$ $ – \frac{{25}}{8}\ln (\sqrt 2 – 1) = 0.$
Lời giải:
Ta biến đổi vế trái $ = \ln {(3 + 2\sqrt 2 )^{\frac{7}{{16}}}}$ $ – \ln {(\sqrt 2 + 1)^4}$ $ – \ln {(\sqrt 2 – 1)^{\frac{{25}}{8}}}.$
$ = \ln {(3 + 2\sqrt 2 )^{\frac{7}{{16}}}}$ $ – \ln {(3 + 2\sqrt 2 )^2}$ $ – \ln {(\sqrt 2 – 1)^{\frac{{25}}{8}}}.$
$ = \ln \frac{{{{(3 + 2\sqrt 2 )}^{\frac{7}{{16}}}}}}{{{{(3 + 2\sqrt 2 )}^2}}} – \ln {(\sqrt 2 – 1)^{\frac{{25}}{8}}}$ $ = \ln {(3 + 2\sqrt 2 )^{ – \frac{{25}}{{16}}}} – \ln {(\sqrt 2 – 1)^{\frac{{25}}{8}}}.$
$ = \ln {(1 + \sqrt 2 )^{ – \frac{{25}}{8}}} – \ln {(\sqrt 2 – 1)^{\frac{{25}}{8}}}.$
$ = \ln {(1 + \sqrt 2 )^{ – \frac{{25}}{8}}} – \ln {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}} \right)^{\frac{{25}}{8}}}$ $ = \ln {(1 + \sqrt 2 )^{ – \frac{{25}}{8}}} – \ln {(\sqrt 2 + 1)^{ – \frac{{25}}{8}}}$ $ = 0.$
Bài 45. Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn theo công thức $S = A.{e^{rt}}$, trong đó $A$ là số lượng vi khuẩn ban đầu, $r$ là tỉ lệ tăng trưởng $(r > 0)$, $t$ là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là $100$ con và sau $5$ giờ có $300$ con. Hỏi sau $10$ giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi.
Lời giải:
Sau $5$ giờ: Từ công thức $S = A.{e^{rt}}$ ta có $300 = 100.{e^{r.5}}$ $ \Rightarrow 3 = {e^{r.5}}$ $ \Leftrightarrow 5r = \ln 3.$
$ \Rightarrow r = \frac{{\ln 3}}{5}.$
Sau $10$ giờ số lượng vi khuẩn là $S = A.{e^{rt}} = 100.{e^{\frac{{\ln 3}}{5}.10}}.$
$ \Rightarrow S = 100.{e^{2\ln 3}}$ $ = 100.{\left( {{e^{\ln 3}}} \right)^2} = {100.3^2}$ $ = 100.9 = 900$ (con).
Để số lượng vi khuẩn tăng lên gấp đôi thì: $t = \frac{{\ln \frac{S}{A}}}{r} = \frac{{\ln \frac{{200}}{{100}}}}{{\frac{{\ln 3}}{5}}} = 5\frac{{\ln 2}}{{\ln 3}}.$
$ \Rightarrow t = $ $3$ giờ $9$ phút.
Bài 46. Cho biết chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ Plutanium $P{u^{239}}$ là $24360$ năm (tức là một lượng $P{u^{239}}$ sau $24360$ năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức $S = A{e^{rt}}$, trong đó $A$ là lượng chất phóng xạ ban đầu, $r$ là tỉ lệ phân hủy hàng năm $(r < 0)$, $t$ là thời gian phân hủy, $S$ là lượng còn lại sau thời gian phân hủy $t.$ Hỏi $10$ gam $P{u^{239}}$ sau bao nhiêu năm sẽ phân hủy còn $1$ gam?
Lời giải:
Tính tỉ lệ phân hủy hàng năm:
Ta có $\frac{1}{2}A = A.{e^{r.24360}}$ $ \Rightarrow \frac{1}{2} = {e^{r.24360}}$ $ \Rightarrow r = \frac{{\ln \frac{1}{2}}}{{24360}} = – \frac{{\ln 2}}{{24360}}.$
Gọi ${t_0}$ là thời gian mà $10$ gam $P{u^{239}}$ phân hủy còn $1$ gam ta có:
$1 = 10.{e^{ – \frac{{\ln 2}}{{24360}}.{t_0}}}$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{{10}} = {e^{ – \frac{{\ln 2}}{{24360}}.{t_0}}}.$
$ \Rightarrow – \ln 10 = – \frac{{\ln 2}}{{24360}}.{t_0}$ $ \Leftrightarrow {t_0} = 24360.\frac{{\ln 10}}{{\ln 2}} = 82235$ (năm).
