Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Hệ phương trình mũ và lôgarit.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 72. Giải các hệ phương trình:
a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 20}\\
{{{\log }_4}x + {{\log }_4}y = 1 + {{\log }_4}9}
\end{array}} \right..$
b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 1}\\
{{4^{ – 2x}} + {4^{ – 2y}} = 0,5}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 20}\\
{{{\log }_4}x + {{\log }_4}y = 1 + {{\log }_4}9}
\end{array}} \right..$
Điều kiện: $x > 0$, $y > 0.$
Hệ phương trình tương đương với:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 20}\\
{{{\log }_4}xy = {{\log }_4}36}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 20}\\
{xy = 36}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 20 – y}\\
{(20 – y)y = 36}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 20 – y}\\
{{y^2} – 20y + 36 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 20 – y}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = 18}\\
{y = 2}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 18}
\end{array}} \right.\\
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 18}\\
{y = 2}
\end{array}} \right.
\end{array} \right..$
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: $S = \{ (2;18),(18;2)\} .$
b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 1}\\
{{4^{ – 2x}} + {4^{ – 2y}} = 0,5}
\end{array}} \right..$
Cách 1: Rút $y = 1 – x$ từ phương trình đầu, thế vào phương trình thứ hai được ${4^{ – 2x}} + {4^{ – 2(1 – x)}} = 0,5$ $ \Leftrightarrow {\left( {{4^{2x}}} \right)^2} – {8.4^{2x}} + 16 = 0.$
Đặt $t = {4^{2x}}$ $(t > 0)$ ta được: ${t^2} – 8.t + 16 = 0$ $ \Leftrightarrow t = 4.$
Với $t = 4$ $ \Rightarrow {4^{2x}} = 4$ $ \Leftrightarrow 2x = 1$ $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow y = \frac{1}{2}.$
Nghiệm của hệ là $S = \left\{ {\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)} \right\}.$
Cách 2: $x + y = 1$ $ \Leftrightarrow {4^{x + y}} = 4$ $ \Leftrightarrow {4^x}{.4^y} = 4.$
Đặt $u = {4^x}$, $v = {4^y}$ ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u.v = 4}\\
{\frac{1}{{{u^2}}} + \frac{1}{{{v^2}}} = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 2}\\
{v = 2}
\end{array}} \right.$ (vì $u > 0$, $v > 0$).
Suy ra tập nghiệm của hệ phương trình là $S = \{ (x;y)\} = \left\{ {\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)} \right\}.$
Bài 73. Giải các hệ phương trình:
a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{3^{ – x}}{{.2}^y} = 1152}\\
{{{\log }_{\sqrt 5 }}(x + y) = 2}
\end{array}} \right..$
b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – {y^2} = 2}\\
{{{\log }_2}(x + y) – {{\log }_3}(x – y) = 1}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
a) Từ phương trình thứ hai ta suy ra: $x + y = 5$ $ \Leftrightarrow y = 5 – x.$
Thế vào phương trình đầu ta được:
${3^{ – x}}{.2^{5 – x}} = 1152$ $ \Leftrightarrow {6^x} = \frac{1}{{36}}$ $ \Leftrightarrow x = – 2$ $ \Rightarrow y = 7.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = ( – 2;7).$
b) Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y > 0}\\
{x – y > 0}
\end{array}} \right..$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – {y^2} = 2}\\
{{{\log }_2}(x + y) – {{\log }_3}(x – y) = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_2}(x + y) + {{\log }_2}(x – y) = 1}\\
{{{\log }_2}(x + y) – \frac{{{{\log }_2}(x – y)}}{{{{\log }_2}3}} = 1}
\end{array}} \right..$
Đặt $u = {\log _2}(x + y)$ và $v = {\log _2}(x – y)$ ta được:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u + v = 1}\\
{u – \frac{v}{{{{\log }_2}3}} = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 1}\\
{v = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 2}\\
{x – y = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{3}{2}}\\
{y = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right..$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = \left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right).$
LUYỆN TẬP
Bài 74. Giải các phương trình:
a) ${\log _2}(3 – x) + {\log _2}(1 – x) = 3.$
b) ${\log _2}\left( {9 – {2^x}} \right) = {10^{\lg (3 – x)}}.$
c) ${7^{\lg x}} – {5^{\lg x + 1}} = {3.5^{\lg x – 1}} – {13.7^{\lg x – 1}}.$
d) ${6^x} + {6^{x + 1}} = {2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}}.$
Lời giải:
a) Điều kiện: $x < 1.$ Phương trình đã cho tương đương với:
$(3 – x)(1 – x) = {2^3}$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 5 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1}\\
{x = 5\,\,{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = -1.$
b) Điều kiện: $x < 3.$ Phương trình đã cho tương đương với:
$9 – {2^x} = {2^{3 – x}}$ $ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} – {9.2^x} + 8 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{2^x} = 1}\\
{{2^x} = 8}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = 3}
\end{array}} \right..$
Vậy phương trình có nghiệm $x = 0.$
c) ${7^{\lg x}} + {13.7^{\lg x – 1}} = {3.5^{\lg x – 1}} + {5^{\lg x + 1}}.$
$ \Leftrightarrow {20.7^{\lg x – 1}} = {28.5^{\lg x – 1}}$ $ \Leftrightarrow {\left( {\frac{7}{5}} \right)^{\lg x – 1}} = \frac{7}{5}.$
$ \Leftrightarrow \lg x – 1 = 1$ $ \Leftrightarrow \lg x = 2$ $ \Leftrightarrow x = 100.$
d) ${6^x} + {6^{x + 1}} = {2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}}$ $ \Leftrightarrow {7.6^x} = {7.2^x}$ $ \Leftrightarrow {3^x} = 1$ $ \Leftrightarrow x = 0.$
Bài 75. Giải các phương trình:
a) ${\log _3}\left( {{3^x} – 1} \right).{\log _3}\left( {{3^{x + 1}} – 3} \right) = 12.$
b) ${\log _{x – 1}}4 = 1 + {\log _2}(x – 1).$
c) $5\sqrt {{{\log }_2}( – x)} = {\log _2}\sqrt {{x^2}} .$
d) ${3^{{{\log }_4}x + \frac{1}{2}}} + {3^{{{\log }_4}x – \frac{1}{2}}} = \sqrt x .$
Lời giải:
a) ${\log _3}\left( {{3^x} – 1} \right).{\log _3}\left( {{3^{x + 1}} – 3} \right) = 12.$
Điều kiện: ${3^x} – 1 > 0.$
$ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{3^x} – 1} \right)\left[ {1 + {{\log }_3}\left( {{3^x} – 1} \right)} \right] = 12.$
$ \Leftrightarrow \log _3^2\left( {{3^x} – 1} \right) + {\log _3}\left( {{3^x} – 1} \right) – 12 = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_3}\left( {{3^x} – 1} \right) = – 4}\\
{{{\log }_3}\left( {{3^x} – 1} \right) = 3}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{3^x} – 1 = {3^{ – 4}}}\\
{{3^x} – 1 = {3^3}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {{\log }_3}\left( {1 + {3^{ – 4}}} \right)}\\
{x = {{\log }_3}\left( {1 + {3^3}} \right)}
\end{array}} \right..$
b) ${\log _{x – 1}}4 = 1 + {\log _2}(x – 1).$
Điều kiện: $0 < x – 1 \ne 1.$
$ \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\log }_2}(x – 1)}} = 1 + {\log _2}(x – 1)$ $ \Leftrightarrow \log _2^2(x – 1) + {\log _2}(x – 1) – 2 = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_2}(x – 1) = 1}\\
{{{\log }_2}(x – 1) = – 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 1 = 2}\\
{x – 1 = \frac{1}{4}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3}\\
{x = \frac{5}{4}}
\end{array}} \right..$
c) $5\sqrt {{{\log }_2}( – x)} = {\log _2}\sqrt {{x^2}} .$ Điều kiện: $x \le – 1.$
Đặt $t = {\log _2}( – x)$ ta được:
$5\sqrt t = t$ $ \Leftrightarrow {t^2} – 25t = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{t = 5}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_2}( – x) = 0}\\
{{{\log }_2}( – x) = 5}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – x = 1}\\
{ – x = 32}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1}\\
{x = – 32}
\end{array}} \right..$
d) Ta có $\sqrt x = \sqrt {{4^{{{\log }_4}x}}} = {2^{{{\log }_4}x}}.$
Do đó:
${3^{{{\log }_4}x + \frac{1}{2}}} + {3^{{{\log }_4}x – \frac{1}{2}}} = {2^{{{\log }_4}x}}$ $ \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt 3 }} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{{\log }_4}x}}$ $ \Leftrightarrow x = {4^{{{\log }_{\frac{2}{3}}}\frac{4}{{\sqrt 3 }}}}.$
Bài 76. Giải các phương trình:
a) ${4^{ – \frac{1}{x}}} + {6^{ – \frac{1}{x}}} = {9^{ – \frac{1}{x}}}.$
b) ${4^{\ln x + 1}} – {6^{\ln x}} – {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0.$
c) $3\sqrt {{{\log }_2}x} – {\log _2}8x + 1 = 0.$
d) $\log _{\frac{1}{2}}^2(4x) + {\log _2}\frac{{{x^2}}}{8} = 8.$
Lời giải:
a) Điều kiện: $x \ne 0.$ Phương trình tương đương với:
${\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{ – \frac{1}{x}}}} \right]^2} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ – \frac{1}{x}}} = 1.$
Đặt ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ – \frac{1}{x}}} = t$ $(t > 0).$
Ta được phương trình: ${t^2} + t – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = \frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}\,\,{\rm{(loại)}}}\\
{t = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}}
\end{array}} \right..$
Với $t = \frac{{\sqrt 5 – 1}}{2}$ $ \Rightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ – \frac{1}{x}}} = \frac{{\sqrt 5 – 1}}{2}$ $ \Leftrightarrow – \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}\frac{{\sqrt 5 – 1}}{2}$ $ \Leftrightarrow x = – {\log _{\frac{2}{3}}}\frac{{\sqrt 5 – 1}}{2}.$
b) Điều kiện: $x > 0.$ Ta được phương trình:
${4.2^{2\ln x}} – {6^{\ln x}} – {18.3^{2\ln x}} = 0$ $ \Leftrightarrow 4.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2\ln x}} – {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\ln x}} – 18 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\ln x}} = – 2\,\,{\rm{(vô\:nghiệm)}}}\\
{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\ln x}} = \frac{9}{4}}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\ln x}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ – 2}}$ $ \Leftrightarrow \ln x = – 2$ $ \Leftrightarrow x = {e^{ – 2}}.$
c) Điều kiện: ${\log _2}x \ge 0.$ Phương trình tương đương với:
$3\sqrt {{{\log }_2}x} – {\log _2}x – 2 = 0.$
Đặt $t = \sqrt {{{\log }_2}x} $ $(t \ge 0)$ $ \Rightarrow 3t – {t^2} – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^2} – 3t + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\\
{t = 2}
\end{array}} \right..$
+ $t = 1$ $ \Rightarrow \sqrt {{{\log }_2}x} = 1$ $ \Leftrightarrow {\log _2}x = 1$ $ \Leftrightarrow x = 2.$
+ $t = 2$ $ \Rightarrow \sqrt {{{\log }_2}x} = 2$ $ \Leftrightarrow {\log _2}x = 4$ $ \Leftrightarrow x = {2^4} = 16.$
d) Điều kiện: $x > 0.$ Ta có:
$\log _{\frac{1}{2}}^2(4x) = {\left[ {{{\log }_{\frac{1}{2}}}4 + {{\log }_{\frac{1}{2}}}x} \right]^2}$ $ = {\left( { – 2 – {{\log }_2}x} \right)^2} = {\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)^2}.$
${\log _2}\frac{{{x^2}}}{8} = {\log _2}{x^2} – {\log _2}8$ $ = 2{\log _2}x – 3.$
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
${\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)^2} + 2{\log _2}x = 3 + 8$ $ \Leftrightarrow \log _2^2x + 6{\log _2}x – 7 = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_2}x = 1}\\
{{{\log }_2}x = – 7}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{x = {2^{ – 7}}}
\end{array}} \right..$
Tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ {2;{2^{ – 7}}} \right\}.$
Bài 77. Giải các phương trình:
a) ${2^{{{\sin }^2}x}} + {4.2^{{{\cos }^2}x}} = 6.$
b) ${4^{3 + 2\cos 2x}} – {7.4^{1 + \cos 2x}} = {4^{\frac{1}{2}}}.$
Lời giải:
a) ${2^{{{\sin }^2}x}} + {4.2^{{{\cos }^2}x}} = 6$ $ \Leftrightarrow {2^{{{\sin }^2}x}} + {4.2^{1 – {{\sin }^2}x}} = 6$ $ \Leftrightarrow {2^{2{{\sin }^2}x}} – {6.2^{{{\sin }^2}x}} + 8 = 0.$
Đặt $t = {2^{{{\sin }^2}x}}$ $(t > 0).$
Ta được: ${t^2} – 6t + 8 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 2}\\
{t = 4}
\end{array}} \right..$
+ $t = 2$ $ \Rightarrow {2^{{{\sin }^2}x}} = 2$ $ \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$ $ \Leftrightarrow {\cos ^2}x = 0$ $ \Leftrightarrow \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ $(k \in Z).$
+ $t = 4$ $ \Rightarrow {2^{{{\sin }^2}x}} = 4$ $ \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 2.$ Phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ $(k \in Z).$
b) ${4^{3 + 2\cos 2x}} – {7.4^{1 + \cos 2x}} = {4^{\frac{1}{2}}}$ $ \Leftrightarrow {4.4^{2(1 + \cos 2x)}} – {7.4^{1 + \cos 2x}} = 2.$
Đặt $t = {4^{1 + \cos 2x}}$ $(t > 0).$ Ta được phương trình:
$4{t^2} – 7t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – \frac{1}{4}\,\,{\rm{(loại)}}}\\
{t = 2}
\end{array}} \right..$
+ Với $t = 2.$
$ \Rightarrow {4^{1 + \cos 2x}} = 2$ $ \Leftrightarrow 1 + \cos 2x = \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow \cos 2x = – \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi $ $(k \in Z).$
$ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $ $(k \in Z).$
Bài 78. Giải các phương trình:
a) ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = x + 4.$
b) ${\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^x} + {\left( {\cos \frac{\pi }{5}} \right)^x} = 1.$
Lời giải:
a) Dễ thấy $x = -1$ là nghiệm. Ta chứng minh $x = -1$ là nghiệm duy nhất. Thật vậy:
+ Nếu $x < – 1.$
$VT = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} > {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ – 1}} = 3.$
$VP = x + 4 < – 1 + 4 = 3.$
$ \Rightarrow VT > VP.$
Phương trình không thỏa mãn với $x < -1.$
+ Nếu $x > – 1.$
$VT = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ – 1}} = 3.$
$VP = x + 4 > – 1 + 4 = 3.$ $ \Rightarrow VT < VP.$
Phương trình vô nghiệm với $x > -1.$
Vậy: Phương trình có nghiệm duy nhất $x = -1.$
b) Dễ thấy: $x = 2$ là nghiệm của phương trình. Ta chứng minh $x = 2$ là nghiệm duy nhất. Thật vậy:
Do $0 < \sin \frac{\pi }{5} < 1$ và $0 < \cos \frac{\pi }{5} < 1$ nên:
+ Nếu $x > 2$ thì ${\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^x} < {\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^2}$ và ${\left( {\cos \frac{\pi }{5}} \right)^x} < {\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^2}.$
$ \Rightarrow {\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^x} + {\left( {\cos \frac{\pi }{5}} \right)^x}$ $ < {\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^2} + {\left( {\cos \frac{\pi }{5}} \right)^2} = 1.$
+ Nếu $x < 2$ thì ${\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^x} + {\left( {\cos \frac{\pi }{5}} \right)^x} > 1.$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2.$
Bài 79. Giải các hệ phương trình:
a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{3.2}^x} + {{2.3}^y} = 2,75}\\
{{2^x} – {3^y} = – 0,75}
\end{array}} \right..$
b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_5}x + {{\log }_5}7.{{\log }_7}y = 1 + {{\log }_5}2}\\
{3 + {{\log }_2}y = {{\log }_2}5\left( {1 + 3{{\log }_5}x} \right)}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
a) Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = {2^x}}&{(u > 0)}\\
{v = {3^y}}&{(v > 0)}
\end{array}} \right.$ ta được:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3u + 2v = 2,75}\\
{u – v = – 0,75}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 0,25}\\
{v = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{2^x} = 0,25}\\
{{3^y} = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2}\\
{y = 0}
\end{array}} \right..$
b) Điều kiện: $x > 0$, $y > 0.$ Hệ đã cho tương đương:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_5}x + {{\log }_5}y = 1 + {{\log }_5}2}\\
{3 + {{\log }_2}y = {{\log }_2}5 + 3{{\log }_2}x}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_5}xy = {{\log }_5}10}\\
{{{\log }_2}8y = {{\log }_2}5{x^3}}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{xy = 10}\\
{8y = 5{x^3}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = \frac{{10}}{x}}\\
{{x^4} = 16}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2\,\,(x > 0)}\\
{y = 5}
\end{array}} \right..$
